324225

[324225] Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a,b,c,d\in \mathbb{R},a\ne 0)$ có đồ thị là $\left(C\right)$. Biết rằng đồ thị $\left(C\right)$ đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị $H=f(4)-f(2)$?

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

Theo bài ra $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a,b,c,d\in \mathbb{R},a\ne 0)$ do đó $y=f^{\prime }\left(x\right)$ là hàm bậc hai có dạng $y=f^{\prime }\left(x\right)=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }$.

Dựa vào đồ thị ta có: $\{\begin{array}{rl}& c^{\prime }=1\\ & a^{\prime }-b^{\prime }+c^{\prime }=4\\ & a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }=4\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& a^{\prime }=3\\ & b^{\prime }=0\\ & c^{\prime }=1\end{array}$$\Rightarrow y=f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+1$.

Gọi $S$ là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f^{\prime }\left(x\right)$, trục $Ox$, $x=4,$ $x=2$.

Ta có $S=\underset{2}{\overset{4}{\int }}(3x^2+1)\text{dx}=58$.

Lại có: $S=\underset{2}{\overset{4}{\int }}{f^{\prime }\left(x\right)\text{dx}=f\left(x\right)|}_2^4=f\left(4\right)-f\left(2\right)$.

Do đó: $H=f\left(4\right)-f\left(2\right)=58$.