324225

[324225] Cho hàm số $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a,b,c,d\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Biết rằng đồ thị $\left( C \right)$ đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số $y=f'(x)$ cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị $H=f(4)-f(2)$?

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

Theo bài ra $y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a,b,c,d\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)$ do đó $y={f}'\left( x \right)$ là hàm bậc hai có dạng $y={f}'\left( x \right)={a}'{{x}^{2}}+{b}'x+{c}'$.

Dựa vào đồ thị ta có: $\left\{ \begin{align} & {c}'=1 \\ & {a}'-{b}'+{c}'=4 \\ & {a}'+{b}'+{c}'=4 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {a}'=3 \\ & {b}'=0 \\ & {c}'=1 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow y={f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1$.

Gọi $S$ là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={f}'\left( x \right)$, trục $Ox$, $x=4,$ $x=2$.

Ta có $S=\int\limits_{2}^{4}{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\text{dx}}=58$.

Lại có: $S=\int\limits_{2}^{4}{{f}'\left( x \right)\text{dx}=\left. f\left( x \right) \right|}_{2}^{4}=f\left( 4 \right)-f\left( 2 \right)$.

Do đó: $H=f\left( 4 \right)-f\left( 2 \right)=58$.