522225

[522225] Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ. Cho $B\left( a;0;0 \right)$, $D\left( 0;a;0 \right)$, ${A}'\left( 0;0;b \right)$ với $a\gt 0$, $b\gt 0$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}'$. Xác định tỉ số $\frac{a}{b}$ để $\left( {A}'BD \right)$ vuông góc với $\left( BDM \right)$.

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

Xác định toạ độ của tất cả các điểm

$A\left( 0;0;0 \right)$, $B\left( a;0;0 \right)$, $C\left( a;a;0 \right)$, $D\left( 0;a;0 \right)$, ${A}'\left( 0;0;b \right)$, ${B}'\left( a;0;b \right)$, ${C}'\left( a;a;b \right)$, ${D}'\left( 0;a;b \right)$, $M\left( a;a;\frac{b}{2} \right)$

Ta có: $\left( {A}'BD \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{b}=1\Leftrightarrow bx+by+az-ab=0$.

Nên $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( b\,;\,b\,;\,a \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( {A}'BD \right)$.

Dễ thấy $C\left( a\,;\,a\,;\,0 \right)$, ${C}'=\left( a;a;b \right)$ nên $M\left( a\,;\,a\,;\,\frac{b}{2} \right)$. Khi đó $\overrightarrow{BD}=\left( -a;a;0 \right)$, $\overrightarrow{BM}=\left( 0;a;\frac{b}{2} \right)$.

$\left[ \overrightarrow{BD}\,,\,\overrightarrow{BM} \right]=\left( \frac{ab}{2}\,;\,\frac{ab}{2}\,;\,-{{a}^{2}} \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( b\,;\,b\,;\,-2a \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( BDM \right)$.

Do $\left( {A}'BD \right)$ vuông góc với $\left( BDM \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{2}}}\Rightarrow 2{{b}^{2}}-2{{a}^{2}}=0$$\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \frac{a}{b}=1$.