522225

[522225] Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A$ trùng với gốc tọa độ. Cho $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;b)$ với $a>0$, $b>0$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$. Xác định tỉ số $\frac{a}{b}$ để $\left(A^{\prime }BD\right)$ vuông góc với $\left(BDM\right)$.

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

Xác định toạ độ của tất cả các điểm

$A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;b)$, $B^{\prime }(a;0;b)$, $C^{\prime }(a;a;b)$, $D^{\prime }(0;a;b)$, $M(a;a;\frac{b}{2})$

Ta có: $\left(A^{\prime }BD\right):\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{b}=1\iff bx+by+az-ab=0$.

Nên $\overrightarrow{n_1}=(b;b;a)$ là vectơ pháp tuyến của $\left(A^{\prime }BD\right)$.

Dễ thấy $C(a;a;0)$, $C^{\prime }=(a;a;b)$ nên $M(a;a;\frac{b}{2})$. Khi đó $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$, $\overrightarrow{BM}=(0;a;\frac{b}{2})$.

$[\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BM}]=(\frac{ab}{2};\frac{ab}{2};-a^2)$ nên $\overrightarrow{n_2}=(b;b;-2a)$ là vectơ pháp tuyến của $\left(BDM\right)$.

Do $\left(A^{\prime }BD\right)$ vuông góc với $\left(BDM\right)$ nên $\overrightarrow{n_1}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_2}\Rightarrow 2b^2-2a^2=0$$\iff a=b\iff \frac{a}{b}=1$.