822225

[822225] Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $3$ điểm $A(4;2;1)$, $B(0;0;3)$, $C(2;0;1)$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $OC$ và cách đều $2$ điểm $A,B$.

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

Gọi $\left(\alpha \right):Ax+By+Cz+D=0(A^2+B^2+C^2\ne 0)$ là mặt phẳng chứa $OC$ và cách đều $A,B$.

$O\in \left(\alpha \right)$ nên ta có: $D=0$$\left(1\right)$

$C\in \left(\alpha \right)$ nên ta có: $Ax+By+Cz-2A-C=0$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow C=-2A$.

Suy ra $\left(\alpha \right):Ax+By-2Az=0$

Theo đề bài: $d(A,\left(\alpha \right))=d(B,\left(\alpha \right))$.

$\iff \frac{|4A+2B-2A|}{\sqrt{A^2+B^2+{(-2A)}^2}}=\frac{|-6A|}{\sqrt{A^2+B^2+{(-2A)}^2}}$

$\iff |2A+2B|=|-6A|$$\iff [\begin{array}{rl}& 2A+B=6A\\ & 2A+B=-6A\end{array}$$\iff [\begin{array}{rl}& B=2A(\ast )\\ & B=-4A(\ast \ast )\end{array}$

Từ $(\ast ):$Chọn $A=1\Rightarrow B=2,C=-2$$\Rightarrow \left(\alpha \right):x+2y-2z=0$.

Từ $(\ast \ast ):$Chọn $A=1\Rightarrow B=-4,C=-2$$\Rightarrow \left(\alpha \right):x-4y-2z=0$.