822225

[822225] Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $3$ điểm $A\left( 4;2;1 \right)$, $B\left( 0;0;3 \right)$, $C\left( 2;0;1 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $OC$ và cách đều $2$ điểm $A,B$.

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

Gọi $\left( \alpha \right):\,Ax+By+Cz+D=0\,\,\,\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0 \right)$ là mặt phẳng chứa $OC$ và cách đều $A,B$.

$O\in \left( \alpha \right)$ nên ta có: $D=0\,$$\left( 1 \right)$

$C\in \left( \alpha \right)$ nên ta có: $Ax+By+Cz-2A-C=0$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\Rightarrow C=-2A$.

Suy ra $\left( \alpha \right):\,Ax+By-2Az=0\,\,\,$

Theo đề bài: $d\left( A,\left( \alpha \right) \right)=d\left( B,\left( \alpha \right) \right)$.

$\Leftrightarrow \frac{\left| 4A+2B-2A \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{\left( -2A \right)}^{2}}}}=\frac{\left| -6A \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{\left( -2A \right)}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow \left| 2A+2B \right|=\left| -6A \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2A+B=6A \\ & 2A+B=-6A \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & B=2A\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ & B=-4A\,\,\,\left( ** \right) \\ \end{align} \right.$

Từ $\left( * \right):$Chọn $A=1\Rightarrow B=2,\,\,C=-2\,\,$$\Rightarrow \left( \alpha \right):\,x+2y-2z=0$.

Từ $\left( ** \right):$Chọn $A=1\Rightarrow B=-4,\,\,C=-2\,\,$$\Rightarrow \left( \alpha \right):\,x-4y-2z=0$.