128725

[128725] Cho tam giác $ABC$ thoả $\left\{ \begin{align} & \sin B.\cos C+\sin C.\cos B=\frac{1}{2} \\ & a=2b\cos C \\ \end{align} \right.$. Tính số đo của góc $\widehat{B}$.

© Được viết bởi CaolacVC. Blog https://caolacvc.blogspot.com

Ta có: $a=2b\cos C=2b\times \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{a}$

$\Rightarrow {{a}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}$

$\Rightarrow {{b}^{2}}={{c}^{2}}$

$\Rightarrow b=c$

Suy ra tam giác $ABC$ cân tại $A$, suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$

Trong tam giác $ABC$, ta luôn có: $\sin B.\cos C+\sin C.\cos B=\sin A$

Thật vậy,

$\sin B.\cos C+\sin C.\cos B=\sin A$

$\Leftrightarrow 2R\sin B.\cos C+2R\sin C.\cos B=2R\sin A$

$\Leftrightarrow b.\cos C+c.\cos B=a$

$\Leftrightarrow b.\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}+c.\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}=a$

$\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2a}+\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2a}=a$

$\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=2{{a}^{2}}$

$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}$ (hiển nhiên)

Từ đó ta suy ra: $\sin B.\cos C+\sin C.\cos B=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{1}{2}\Rightarrow \left[ \begin{align} & \widehat{A}=30{}^\circ \\ & \widehat{A}=150{}^\circ \\ \end{align} \right.$

+) Với $\widehat{A}=30{}^\circ $, ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow 2\widehat{B}=150{}^\circ \Rightarrow \widehat{B}=75{}^\circ $

+) Với $\widehat{A}=150{}^\circ $, ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow 2\widehat{B}=30{}^\circ \Rightarrow \widehat{B}=15{}^\circ $