test1

Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Tập Hợp Điểm

Đề bài: Cho $\triangle ABC$ đều cạnh là $a=3$. Điểm $M$ thỏa mãn $2MA^2 + MB^2 + MC^2 = 18$. Tìm bán kính $R$ của đường tròn tập hợp điểm $M$.

1. Chọn Điểm $I$ và Chứng minh $I$ là Trung điểm $AD$

Chọn điểm $I$ thỏa mãn điều kiện vectơ:

$$ 2\vec{IA} + \vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0} $$ Sử dụng quy tắc trung điểm $\vec{IB} + \vec{IC} = 2\vec{ID}$ (với $D$ là trung điểm $BC$): $$ \iff 2\vec{IA} + 2\vec{ID} = \vec{0} $$ $$ \iff \vec{IA} + \vec{ID} = \vec{0} $$

Kết quả này chứng tỏ $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.

2. Biến Đổi Biểu Thức Tổng Bình Phương Độ Dài

Ta biến đổi $2MA^2 + MB^2 + MC^2 = 18$ bằng cách chèn điểm $I$ và sử dụng công thức: $MA^2 = (\vec{MI} + \vec{IA})^2 = MI^2 + 2\vec{MI} \cdot \vec{IA} + IA^2$.

$$ 2(\vec{MI} + \vec{IA})^2 + (\vec{MI} + \vec{IB})^2 + (\vec{MI} + \vec{IC})^2 = 18 $$ Khai triển: $$ 2(MI^2 + 2\vec{MI} \cdot \vec{IA} + IA^2) $$ $$ + (MI^2 + 2\vec{MI} \cdot \vec{IB} + IB^2) $$ $$ + (MI^2 + 2\vec{MI} \cdot \vec{IC} + IC^2) = 18 $$ Gom các hạng tử: $$ (2MI^2 + MI^2 + MI^2) + (2IA^2 + IB^2 + IC^2) $$ $$ + 2\vec{MI} \cdot \underbrace{(2\vec{IA} + \vec{IB} + \vec{IC})}_{\vec{0}} = 18 $$ $$ \iff 4MI^2 + 2IA^2 + IB^2 + IC^2 = 18 \quad (1) $$

3. Tính Toán Độ Dài Các Đoạn Thẳng Theo $a=3$

Đường trung tuyến $AD$ trong $\triangle ABC$ đều:

$$ AD = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

Tính $IA$ và $ID$ ($I$ là trung điểm $AD$):

$$ IA = ID = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} $$

Tính $IB^2 = IC^2$ (áp dụng Định lý Pythagoras trong $\triangle IDC$ vuông tại $D$, với $DC = a/2 = 3/2$):

$$ IB^2 = IC^2 = ID^2 + DC^2 $$ $$ IB^2 = IC^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$ $$ IB^2 = IC^2 = \frac{27}{16} + \frac{9}{4} = \frac{27}{16} + \frac{36}{16} = \frac{63}{16} $$

Ta có: $2IA^2 = 2 \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 2 \cdot \frac{27}{16} = \frac{54}{16}$.

Và: $IB^2 + IC^2 = \frac{63}{16} + \frac{63}{16} = \frac{126}{16}$.

4. Tính Bán Kính $R$ (Độ dài $MI$)

Thay các giá trị đã tính vào phương trình $(1)$: $4MI^2 + 2IA^2 + IB^2 + IC^2 = 18$

$$ 4MI^2 + \frac{54}{16} + \frac{126}{16} = 18 $$ $$ 4MI^2 + \frac{180}{16} = 18 $$ Rút gọn $\frac{180}{16} = \frac{45}{4}$: $$ 4MI^2 + \frac{45}{4} = 18 $$ $$ 4MI^2 = 18 - \frac{45}{4} = \frac{72 - 45}{4} = \frac{27}{4} $$ $$ MI^2 = \frac{27}{16} $$

Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R = MI$:

$$ R = MI = \sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{\sqrt{27}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} $$

Kết luận: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn có bán kính $R = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Làm tròn đến hàng phần mười: $R \approx 1.299 \approx \mathbf{1.3}$