1301225

Đề bài Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(-1; 2; 1), B(1; 0; 2), C(0; -2; 3)$. Tìm toạ độ điểm $M(a; b; c)$ sao cho biểu thức $S = \vec{MA} \cdot \vec{MB} + 2\vec{MB} \cdot \vec{MC} + \vec{MC} \cdot \vec{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Để tối tiểu hóa biểu thức $S$, ta sử dụng phương pháp tâm tỉ cự. Chèn điểm $I$ vào biểu thức $S$, ta có công thức tổng quát:

$S = 4MI^2 + \vec{MI}(2\vec{IA} + 3\vec{IB} + 3\vec{IC}) + \text{const}$.

Để triệt tiêu hạng tử chứa $MI$, ta chọn điểm $I$ sao cho: $2\vec{IA} + 3\vec{IB} + 3\vec{IC} = \vec{0}$.

Tọa độ điểm $I(x_I; y_I; z_I)$ được xác định bởi:

• $x_I = \frac{2x_A + 3x_B + 3x_C}{8} = \frac{2(-1) + 3(1) + 3(0)}{8} = \frac{1}{8}$
• $y_I = \frac{2y_A + 3y_B + 3y_C}{8} = \frac{2(2) + 3(0) + 3(-2)}{8} = -\frac{1}{4}$
• $z_I = \frac{2z_A + 3z_B + 3z_C}{8} = \frac{2(1) + 3(2) + 3(3)}{8} = \frac{17}{8}$

Khi đó $S = 4MI^2 + \text{const}$. Biểu thức $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI = 0$, hay $M \equiv I$.

Tọa độ điểm $M$ cần tìm là: $M\left(\frac{1}{8}; -\frac{1}{4}; \frac{17}{8}\right)$

Bài viết được chia sẻ tại: caolacvc.blogspot.com