idtoan

Đề bài Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(-1; 2; 1), B(1; 0; 2), C(0; -2; 3)$. Tìm toạ độ điểm $M(a; b; c)$ sao cho biểu thức $S = \vec{MA} \cdot \vec{MB} + 2\vec{MB} \cdot \vec{MC} + \vec{MC} \cdot \vec{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải chi tiết Để tối tiểu hóa biểu thức $S$, ta sử dụng phương pháp tâm tỉ cự. Chèn điểm $I$ vào biểu thức $S$, ta có công thức tổng quát: $S = 4MI^2 + \vec{MI}(2\vec{IA} + 3\vec{IB} + 3\vec{IC}) + \text{const}$. Để triệt tiêu hạng tử chứa $MI$, ta chọn điểm $I$ sao cho: $2\vec{IA} + 3\vec{IB} + 3\vec{IC} = \vec{0}$. Tọa độ điểm $I(x_I; y_I; z_I)$ được xác định bởi: $x_I = \frac{2x_A + 3x_B + 3x_C}{8} = \frac{2(-1) + 3(1) + 3(0)}{8} = \frac{1}{8}$ $y_I = \frac{2y_A + 3y_B + 3y_C}{8} = \frac{2(2) + 3(0) + 3(-2)}{8} = -\frac{1}{4}$ $z_I = \frac{2z_A + 3z_B + 3z_C}{8} = \frac{2(1) + 3(2) + 3(3)}{8} = \frac{17}{8}$ Khi đó $S = 4MI^2 + \tex...

Bài toán Cơ học Về Cần Cẩu Nâng Khung Sắt và Ô Tô Bài toán Cơ học Về Cần Cẩu Nâng Khung Sắt và Ô Tô [cite_start] [89625] Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $ABCD$ song song với mặt phẳng nằm ngang[cite: 1]. [cite_start]Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA, EB, EC, ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $ABCD$ một góc $\alpha$[cite: 1]. [cite_start] Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng[cite: 2]. [cite_start] Biết rằng các lực căng $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}, \vec{F_4}$ đều có cường độ là $F=1000$ (N) và trọng lượng của khung sắt là $P_{\text{khung}}=5000$ (N) thì trọng lượng của chiếc xe ô tô bằng $P_{\text{xe}}$ (N)[cite: 3]. [cite_start] Tính $\alpha$[cite: 4]. Hình 1: Mô hình vật lý của hệ thống. ...

🌟 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ 🌟 ① Cơ bản ② Góc liên quan ③ Công ④ Nhân đôi/Hạ bậc ⑤ Tích & Tổng ⑥ Hàm số ⑦ Phương trình 1. Công thức cơ bản STT Công thức Mã LaTeX ① $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 ② $$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$ 1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} ③ $$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$$ 1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} ④ ...

Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Tập Hợp Điểm Đề bài: Cho $\triangle ABC$ đều cạnh là $a=3$. Điểm $M$ thỏa mãn $2MA^2 + MB^2 + MC^2 = 18$. Tìm bán kính $R$ của đường tròn tập hợp điểm $M$. 1. Chọn Điểm $I$ và Chứng minh $I$ là Trung điểm $AD$ Chọn điểm $I$ thỏa mãn điều kiện vectơ: $$ 2\vec{IA} + \vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0} $$ Sử dụng quy tắc trung điểm $\vec{IB} + \vec{IC} = 2\vec{ID}$ (với $D$ là trung điểm $BC$): $$ \iff 2\vec{IA} + 2\vec{ID} = \vec{0} $$ $$ \iff \vec{IA} + \vec{ID} = \vec{0} $$ Kết quả này chứng tỏ $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$ . 2. Biến Đổi Biểu Thức Tổng Bình Phương Độ Dài Ta biến đổi $2MA^2 + MB^2 + MC^2 = 18$ bằng cách chèn điểm $I$ và sử dụng công thức: $MA^2 = (\vec{MI} + \vec{IA})^2 = MI^2 + 2\vec{MI} \cdot \vec{IA} + IA^2$. $$ 2(\vec{MI} + \vec{IA})^2 + (\vec{MI} + \vec{IB})^2 + (\vec{MI} + \vec{IC})^2 = 18 $$ Khai triển: $$ 2(MI^2 + 2\vec{MI} \cdot \...

📝 Lời Giải Bài Toán Hình Học Bài toán này sử dụng **Định lý Cosin** trong tam giác để tính chiều dài sợi cáp. 1. Phân tích và Ký hiệu Mô hình hóa bài toán thành tam giác $\triangle ABC$: A: Đỉnh tháp. B: Chân tháp. C: Điểm neo cáp trên sườn dốc. Thông số: Chiều cao tháp: $AB = 42\text{ m}$. Khoảng cách từ chân tháp đến điểm neo: $BC = 33\text{ m}$. Góc nghiêng của sườn dốc so với phương ngang: $34^\circ$. 2. Xác định góc $\angle ABC$ Tháp $(AB)$ được dựng thẳng đứng (góc $90^\circ$) so với phương ngang. Sườn dốc $(BC)$ nghiêng $34^\circ$ so với phương ngang. Do đó, góc $\angle ABC$ là: $$\angle ABC = 90^\circ + 34^\circ = 124^\circ$$ 3. Áp dụng Định lý Cosin Áp dụng Định lý Cosin trong $\triangle ABC$ để tính chiều dài cáp $AC$: $$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) $$ Thay số: $$ AC^2 = 42...